“Способ подключения к Яндекс.Кассе – протокол API” – это правильно. Именно этот протокол и нужен под этот модуль. Также может быть вариант “Модуль CMS”, внутри которого настройки под модуль WooCommerce.
После перехода к оплате статус заказа меняется на “В ожидании оплаты”. После получения уведомления об успешной оплате модуль меняет статус на тот, который задан в настройках WooCommerce для оплаченного заказа. Это может быть “Обработка”, “Заказ выполнен” или другой пользовательский статус.
Получается, что модуль меняет статус при успешной оплате. Если Вы хотите, чтобы при оплате статус устанавливался “Выполнен”, а не “Обработка”, необходимо изменить настройки WooCommerce. Можно воспользоваться примером из статьи https://onwp.ru/question/kak-v-woocommerce-avtomaticheski-zavershit-zakaz-esli-on-v-statuse-processing
Отправка уведомлений от Яндекс.Кассы при получении ошибки оплаты не производится. Возможно это появится в будущем, и мы добавим в модуль обработку такого уведомления.